Corso di Matematica - Disequazioni con Modulo (Pagina 2 di 3)

Disequazioni di I° Grado in una incognita con una espressione in Modulo

Consideriamo dapprima una disequazione di I° grado in x nella quale compaia un’espressione in modulo.

Ricordiamo la definizione di modulo di un numero reale x:

Possiamo applicare questa definizione ad un polinomio di I° grado in x, ad esempio:

dove l’espressione che sta dentro il simbolo di modulo, che viene chiamata argomento del modulo, non si chiama “x” ma “x-3”; quindi rimane identica (x-3) se si tratta di una quantità positiva o nulla (se x-3≥0), cambia segno (e quindi diventa –x+3) se si tratta di una quantità negativa (se x-3<0).

Dunque nel risolvere una disequazione del tipo |x-3| < 2-4x si presentano due casi possibili:

1) se x-3≥0  ossia x≥3 la disequazione diventa

x-3 < 2-4x

x+4x < 3+2

5x < 5

x < 1  

e tali valori devono essere messi a sistema con la condizione x≥3 posta prima di risolvere l’equazione, per trovare quali di essi verifichino tale condizione e risultino quindi accettabili

In questo caso il sistema non ha soluzioni ( ricordiamo che le soluzioni di un sistema si individuano nel grafico in corrispondenza di quei valori che verificano entrambe le disequazioni del sistema, e ciò accade dove sono sovrapposte linee continue o anche singoli punti).

2) se x-3<0 ossia x<3 la disequazione diventa

-x+3 < 2-4x

-x+4x < -3+2

3x < -1

x < -1/3

che deve essere messo a sistema con la condizione x<3 per trovare i valori che la verificano e quindi siano accettabili

(valori in corrispondenza dei quali si sovrappongono le linee continue)               

--> In generale la disequazione data ha come soluzione l’unione delle soluzioni dei due casi esaminati; nell’esempio ora svolto si ottiene x < -1/3 in quanto il 1° caso non ammette soluzioni.

Esaminiamo ancora un paio di esempi.

Vogliamo risolvere la disequazione: |3-2x|-1 ≥ x+5

Applichiamo la definizione di modulo all’espressione 3-2x

Dunque si ha

1) se 3-2x≥0 ossia x≤3/2

3-2x-1 ≥ x+5

-2x-x ≥-3+1+5

-3x ≥ 3

3x ≤ -3

(Attenzione: se cambiamo segno a tutti i termini di una disequazione dobbiamo cambiare anche il verso della disuguaglianza)

x ≤ -1

2) se 3-2x<0 ossia x>3/2

-3+2x-1 ≥ x+5

2x-x ≥ 3+1+5

x ≥ 9

--> Quindi la disequazione data ha come soluzioni l’unione di due intervalli

x ≤ -1  U  x ≥ 9

Vogliamo risolvere la disequazione 4-|x+1| ≤ x

Applichiamo la definizione di modulo all’espressione x+1

Dunque si ha

1) se x+1≥0 ossia x≥-1

4-(x+1) ≤ x 

(togliendo il simbolo di modulo è necessario usare una parentesi in quanto il segno “-“ davanti al modulo è riferito alla somma x+1)

4-x-1 ≤ x

-x-x ≤ -4+1

-2x ≤ -3

2x ≥ 3

x ≥ 3/2

2) se x+1<0 ossia x<-1

4-(-x-1) ≤ x

4+x+1 ≤ x

x-x ≤ -4-1

0 ≤-5 . impossibile

--> Quindi la disequazione data ammette come soluzioni x ≥ 3/2.

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