Corso di Matematica - Equazioni con Modulo (Pagina 2 di 3)

Equazioni di I° Grado in una incognita con una espressione in Modulo

Consideriamo dapprima un’equazione di I° grado in x nella quale compaia un’espressione in modulo.

Ricordiamo la definizione di modulo di un numero reale x:

Possiamo applicare questa definizione ad un polinomio di I° grado in x, ad esempio:

dove l’espressione che sta dentro il simbolo di modulo, che viene chiamata argomento del modulo, non si chiama “x” ma “x-3”; quindi rimane identica (x-3) se si tratta di una quantità positiva o nulla (se x-3≥0), cambia segno (e quindi diventa –x+3) se si tratta di una quantità negativa (se x-3<0).

Dunque nel risolvere un’equazione tipo |x-3|= 2-4x si presentano due casi possibili:

1)   se x-3≥0 ossia x≥3 l’equazione diventa

x-3 = 2-4x

x+4x = 3+2

5x = 5

x = 1

che però non è accettabile perché non verifica la condizione x≥3  posta prima di risolvere l’equazione (1 non è ≥3)

2)   se x-3<0 ossia x<3 l’equazione diventa

-x+3 = 2-4x

-x+4x = -3+2

3x = -1

x = -1/3

che risulta accettabile in quanto verifica la condizione x<3 (-1/3 risulta minore di 3)

--> Quindi l’equazione data ha una soluzione x =-1/3.

Esaminiamo ancora un paio di esempi.

Vogliamo risolvere l’equazione |3-2x|-1 = x+5

Applichiamo la definizione di modulo all’espressione 3-2x

Dunque si ha

1)   se 3-2x≥0 ossia x≤3/2

3-2x-1 = x+5

-2x-x = -3+1+5

-3x = 3

3x = -3

x = -1 accettabile in quanto –1 risulta minore di 3/2

2)   se  3-2x<0  ossia x>3/2

-3+2x-1 = x+5

2x-x = 3+1+5

x = 9 accettabile in quanto 9 risulta maggiore di 3/2

--> Quindi l’equazione ha due soluzioni.

Vogliamo risolvere l’equazione   4-|x+1| = x

Applichiamo la definizione di modulo all’espressione x+1

		x+1	se x+1≥0 ossia x≥-1
|x+1| =
		-x-1	se x+1<0 ossia x<-1

Dunque si ha

1) se x+1≥0  ossia   x≥-1

    4-(x+1) = x 

(togliendo il simbolo di modulo è necessario usare una parentesi in quanto il segno “-“ davanti al modulo è riferito alla somma x+1)

4-x-1 =x

-x-x = -4+1

-2x = -3

2x = 3

x = 3/2 . accettabile

2) se x+1<0 ossia x<-1

4-(-x-1) = x

4+x+1 = x

x-x = -4-1

0 = -5 . impossibile

--> Quindi l’equazione ammette come soluzione  x = 3/2.

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