|x-1| =
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unità 2 - Equazioni con Modulo / Testo dell'Unità |
Corso di Matematica - Equazioni con Modulo (Pagina 3 di 3)
Equazioni di I° Grado in una incognita con più espressioni in Modulo
Consideriamo ora un’equazione di I° grado in x in cui compaiano due espressioni in modulo,
ad esempio: |x-1|-|x| = 2x-5
Analizziamo i moduli delle singole espressioni:
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x-1 | se x-1≥0 ossia x≥1 | |x| = x se x≥0 | |
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|x-1| = |
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| -x+1 | se x-1<0 ossia x<1 | -x se x<0 |
Possiamo rappresentare i casi possibili su un unico schema:
dove la linea continua corrisponde al caso in cui si toglie il modulo senza cambiare segno all’espressione in esso contenuta, la linea tratteggiata corrisponde al caso in cui si toglie il modulo cambiando segno all’espressione.
Nel momento in cui si toglie il modulo si presentano così 3 casi:
| (1) | entrambe le espressioni cambiano segno, e ciò si accade quando x<0 |
| (2) | l’espressione “x” non cambia segno mentre “x-1” sì, e accade quando 0≤x<1 (1 non è compreso perché ricade già nel caso successivo in cui “x-1” non cambia) |
| (3) | entrambe le espressioni non cambiano segno; e accade quando x≥1 |
Andiamo ad esaminare ciascun caso:
1) se x < 0 l’equazione diventa
-x+1-(-x) = 2x-5
-x+1+x = 2x-5
-2x = -6
2x = 6
x = 3 . non accettabile
2) se 0 ≤ x < 1 l’equazione diventa
-x+1 –x = 2x-5
-4x = -6
4x = 6
x = 3/2 . non accettabile
3) se x ≥ 1 l’equazione diventa
x-1-x = 2x-5
-2x = -4
2x = 4
x = 2 . accettabile
--> Quindi l’equazione ha soluzione x = 2
Analogamente ci si comporta quando le espressioni in modulo sono più di due.
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