Disequazione

Si chiama disequazione in una variabile un’espressione riconducibile alla forma f(x) >0 ( o f(x) <0 ).

Risolvere una disequazione significa trovare i valori della variabile x che rendono vera la disuguaglianza.

Equazione

Uguaglianza tra due espressioni una almeno delle quali contenga una o più incognite.

Risolvere una equazione significa determinare, se esistono, i valori numerici che rendono vera l’uguaglianza, ossia che “verificano” l’equazione; tali valori si dicono soluzioni o radici dell’equazione.

Un’equazione in una sola variabile x si dice ridotta in forma normale se è scritta nella forma f(x) = 0.

Un’equazione algebrica di grado n ha un numero di soluzioni semplici, reali o non, uguale a n; se ci sono soluzioni con molteplicità maggiore di 1 vanno contate tante volte quante è la loro molteplicità (ad es. una soluzione doppia va contata due volte).

Le soluzioni non reali si presentano sempre a due a due (sono complesse coniugate).

Dal punto di vista grafico risolvere un equazione del tipo f(x) = 0 significa trovare, se esistono, le ascisse dei punti di intersezione del grafico della funzione y = f(x) con l’asse delle x.

Funzione

Dati due insiemi non vuoti e non necessariamente distinti A e B, si dice che è data una funzione f di A in B se è assegnata una regola che ad ogni elemento dell’insieme A associa uno ed un solo elemento dell’insieme B.

L’insieme A si dice dominio della funzione, l’insieme B si dice insieme di arrivo.

Se x è un qualsiasi elemento di A si indica con f(x) l’elemento associato a x tramite f, e f(x) appartiene a B e si chiama immagine di x; se y è un elemento di B, l’elemento x di A tale che f(x)=x si dice controimmagine di y.

Utilizzando la terminologia della teoria degli insiemi si può dire che : dati due insiemi A e B si dice funzione un sottoinsieme F del prodotto cartesiano AxB che abbia le seguenti proprietà (1) ogni elemento di A compare come primo elemento di almeno una coppia ordinata di F (2) se due coppie ordinate di F hanno i primi elementi uguali allora esse devono avere anche i secondi elementi uguali.

Se A e B sono insiemi numerici e se esiste una relazione del tipo y=f(x) che permette di calcolare l’immagine di un qualunque elemento del dominio, si dice che f è una funzione matematica e che l’equazione y=f(x) è l’espressione analitica della funzione.

Simmetria assiale

Chiamiamo simmetria assiale di asse r la trasformazione del piano in sé che ad ogni punto A del piano associa il suo simmetrico A' rispetto alla retta r; tale retta viene detta asse di simmetria.

Due punti A ed A^' si dicono simmetrici rispetto ad una retta r se il segmento AA^' è perpendicolare alla retta r e il punto medio del segmento appartiene ad r.

In una simmetria assiale tutti i punti dell’asse di simmetria sono punti uniti, ossia coincidono con il proprio trasformato, quindi l’asse di simmetria è una retta di punti uniti; tutte le rette perpendicolari all’asse di simmetria sono rette unite, pur non essendo di punti uniti.

Una simmetria assiale conserva l’allineamento tra punti, la distanza, il parallelismo.

In un riferimento cartesiano ortogonale le equazioni di alcune simmetrie assiali sono le seguenti.

Rispetto all’asse x: x^'= x , y^' = -y

Rispetto all’asse y: x^'= -x , y^' = y

Rispetto alla retta y = h : x^'= x , y^' = -y+2h

Rispetto alla retta x = k : x^'= -x+2k , y^' = y

Rispetto alla retta y = x : x^'= y , y^' = x

Rispetto alla retta y = -x : x^'= -y , y^' = -x

Simmetria centrale

Si dice simmetria centrale rispetto ad un dato punto O una trasformazione del piano in sé che ad ogni punto A del piano associa il suo simmetrico A' rispetto ad O; il punto O è detto centro della simmetria.

Due punti A ed A^' si dicono simmetrici rispetto ad un punto O se O risulta punto medio del segmento AA^'.

In una simmetria centrale il centro di simmetria è l’unico punto unito, ossia un punto che coincide con il suo trasformato; dunque non esistono rette di punti uniti, mentre risultano rette unite tutte quelle del fascio di centro O.

Una simmetria centrale può essere vista come composizione di due simmetrie assiali con assi perpendicolari.

In un riferimento cartesiano ortogonale le equazioni di una simmetria centrale sono le seguenti.

Rispetto all’origine O(0,0) : x^'= -x , y^' = -y

Rispetto al punto (a,b) : x^'= -x+2a , y^' = -y+2b

Trasformazione

Si definisce trasformazione una funzione biunivoca fra insiemi, che ad ogni elemento del primo insieme associa uno o più elementi, detti trasformati, del secondo insieme.

Traslazione

Chiamiamo traslazione una trasformazione geometrica in cui due punti si corrispondono se il segmento che li unisce risulta congruente ed equiverso ad un segmento orientato detto vettore di traslazione.

Una traslazione non ha punti uniti ( o fissi ) ossia punti che coincidono con il proprio trasformato.

Una traslazione può essere vista come la composizione di due simmetrie assiali con assi paralleli.

In un riferimento cartesiano ortogonale le equazioni di una traslazioni generica hanno la forma: x^' = x+h , y^' = y+k con h e k valori costanti.

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